uma visão sobre o que é Matemática (há dois anos)

Matemática é o estudo dos objetos mentais, ou dos objetos abstratos. Números reais, números naturais e geometria são os três modelos mais úteis à realidade, e quase todas as pessoas têm boas ideias deles. (Na verdade não tenho como saber o que passa pela cabeça delas, mas parece que sim.)

(Rascunho feito em dois mil e dez. Publicava agora ou nunca mais.)

Fazer ou pensar no que faz

Um dos motivos pelos quais escrevi bem menos aqui é um pensamento que se incrustou de leve (seleção aleatória de palavras) em mim, a ideia de que vale mais a pena fazer do que pensar no que se está fazendo. Isso vale tanto para matemática como para muitas outras coisas. Estou mais prático que teórico que nunca.

Uma possibilidade sobre o que é fazer sentido

Há alguns meses, tenho debatido com alguns colegas (praticamente só com piada e máximas, convenhamos) sobre o que é verdade e o que faz sentido em Matemática.
Acho que nossa visão estava equivocada. Por mais que uma sentença faça sentido em português e os objetos estejam nas devidas categorias, acho que considerar uma frase com sentido mas falsa é cultural (meu último desejo antes do apedrejamento é me explicar [a sorte é que sou homem e me deixam com os braços livres]). Estou dizendo que estar certo como objetos de categorias é só uma das facetas que podemos olhar, e colocá-la como primeira ou mais requisito que os outros para verificar veracidade é cultural, ou pelo menos resultante de uma teoria do que do nosso próprio (e quem sabe íntimo) desenvolvimento e organização das coisas.
Uma síntese do que acho de uma maneira mais funtorial (gíria interna): existe uma formulação mais geral da matemática englobando ela em que fazer sentido se funde com ser verdadeiro mas a lógica não se relativiza.

Ainda vou formular isso com simetrias. E ainda tenho que aprender lógica formal, de preferência dos dois pontos de vista: filosófico e matemático. Mas deu de lista do que aprender. Sobre conhecimento: é como se fossem os ordinais enumeráveis, e eu só conhecesse até algum ordinal.

A matemática é universal

Ok, mas o que isso quer dizer? Sugiro duas "interpretações".

A primeira é que pode-se escrever matemática sem suporte de língua nenhuma, só usando símbolos lógicos, números e letras (que poderiam sempre ser substituídas por qualquer outra).

A segunda é a seguinte. Faça uma sentença matemática verdadeira (um teorema) em português. Se você traduzir os termos, um a um, corretamente para o inglês, essa sentença traduzida também é verdadeira. Essa espécie de conjugação da validade da afirmação pelas línguas, ou essa passagem ao quociente, pode ser vista como a universalidade da matemática.

áreas da matemática

Considere o seguinte problema: "Encontrar o número de triângulos (a menos de isometrias) com lados inteiros e perímetro dado."
Você anunciaria que é um problema de geometria? Bem, eu acho que não, porque envolve números inteiros (que não são tão naturais assim em geometria euclidiana, que geralmente lida com a reta ou o círculo unitário) e contagem.
Contagem é típico de combinatória. Números inteiros, teoria dos números. Triângulos, geometria. Então, esse problema é de uma área específica? Devo lembrar que o que caracteriza três números como possíveis lados de um triângulo é a desigualdade triangular, que é puramente "algébrica". As duas provas (ou seja, respostas) que eu conheço são ambas combinatórias (afinal, queremos contar).
Daí, como classificá-lo?
Eu diria que talvez problemas não tenham uma área. Tanto que esse daí pode ser formulado em termos equivalentes, substituindo o conceito 'triângulo' (que supostamente é de geometria) por 'desigualdade triangular' (conceito de espaços métricos, topologia, análise). Muitos outros têm equivalências em áreas que parecem tão distintas. Por exemplo, a conjectura de Riemann (sobre uma função complexa) tem tudo a ver com números primos, e também com a contagem de geodésicas de certo tamanho em variedades compactas.
Além disso, parece que sempre precisamos classificar nosso trabalho. OK, é útil para sabermos as conexões, mas por outro lado, justamente por serem conexões, as áreas não são hierárquicas (a Matemática se mistura bastante, dum jeito muito estranho, confuso e maravilhoso), então não haveria subordinações tão claras.

Eu quero mudar isso, melhorar nossa compreensão e diminuir a hipocrisia (ou a minha alienação, se as pessoas realmente falam a verdade sobre tudo que sabem e entendem).

resultados que são consequências

Você que faz Sudokus tem seu jeito de fazer, e sabe como deduzir o conteúdo de algumas casas. Se você procurar por algumas técnicas, verá que são exatamente o que você fazia, talvez separadas por algum nome.

Ouço muito que para provar certo Resultado tem que usar o teorema Tal ou a técnica Ômega. Muitas vezes, isso é meio que um engano. O Resultado pode ser dito consequência do teorema, ou que é resolvido por uma técnica ou truque, mas na verdade o teorema Tal e a técnica Ômega só encobrem suas primeiras tentativas (pegar o problema a unha, sabe?). Ou seja, dão uma ponte direta, enquanto você poderia ir se debatendo pra atravessar o rio sem a ponte (e quase sempre se usam raciocínios semelhantes ao teorema).

Ache um exemplo na sua própria vida matemática.

O pai na pizzaria

Segundo me contaram, durante um jantar, o homem da mesa ao lado dizia aos seus filhos que matemática era fácil. A primeira ideia foi desafia-lo com um problema (que ideais maximais no anel de polinômios em n variáveis podem ser gerado por n elementos), mas não, seria muito cruel e desajeitado com o pai que estava dizendo aos filhos que a matemática não era um monstro, mas sim algo que podia ser estudado, compreendido e aplicado (há gosto pra tudo!).
Foi legal da parte desse pai não tratar o conhecimento como algo de outro mundo, uma atitude que devia ser repetida.