A matemática é universal

Ok, mas o que isso quer dizer? Sugiro duas "interpretações".

A primeira é que pode-se escrever matemática sem suporte de língua nenhuma, só usando símbolos lógicos, números e letras (que poderiam sempre ser substituídas por qualquer outra).

A segunda é a seguinte. Faça uma sentença matemática verdadeira (um teorema) em português. Se você traduzir os termos, um a um, corretamente para o inglês, essa sentença traduzida também é verdadeira. Essa espécie de conjugação da validade da afirmação pelas línguas, ou essa passagem ao quociente, pode ser vista como a universalidade da matemática.

áreas da matemática

Considere o seguinte problema: "Encontrar o número de triângulos (a menos de isometrias) com lados inteiros e perímetro dado."
Você anunciaria que é um problema de geometria? Bem, eu acho que não, porque envolve números inteiros (que não são tão naturais assim em geometria euclidiana, que geralmente lida com a reta ou o círculo unitário) e contagem.
Contagem é típico de combinatória. Números inteiros, teoria dos números. Triângulos, geometria. Então, esse problema é de uma área específica? Devo lembrar que o que caracteriza três números como possíveis lados de um triângulo é a desigualdade triangular, que é puramente "algébrica". As duas provas (ou seja, respostas) que eu conheço são ambas combinatórias (afinal, queremos contar).
Daí, como classificá-lo?
Eu diria que talvez problemas não tenham uma área. Tanto que esse daí pode ser formulado em termos equivalentes, substituindo o conceito 'triângulo' (que supostamente é de geometria) por 'desigualdade triangular' (conceito de espaços métricos, topologia, análise). Muitos outros têm equivalências em áreas que parecem tão distintas. Por exemplo, a conjectura de Riemann (sobre uma função complexa) tem tudo a ver com números primos, e também com a contagem de geodésicas de certo tamanho em variedades compactas.
Além disso, parece que sempre precisamos classificar nosso trabalho. OK, é útil para sabermos as conexões, mas por outro lado, justamente por serem conexões, as áreas não são hierárquicas (a Matemática se mistura bastante, dum jeito muito estranho, confuso e maravilhoso), então não haveria subordinações tão claras.

Eu quero mudar isso, melhorar nossa compreensão e diminuir a hipocrisia (ou a minha alienação, se as pessoas realmente falam a verdade sobre tudo que sabem e entendem).

resultados que são consequências

Você que faz Sudokus tem seu jeito de fazer, e sabe como deduzir o conteúdo de algumas casas. Se você procurar por algumas técnicas, verá que são exatamente o que você fazia, talvez separadas por algum nome.

Ouço muito que para provar certo Resultado tem que usar o teorema Tal ou a técnica Ômega. Muitas vezes, isso é meio que um engano. O Resultado pode ser dito consequência do teorema, ou que é resolvido por uma técnica ou truque, mas na verdade o teorema Tal e a técnica Ômega só encobrem suas primeiras tentativas (pegar o problema a unha, sabe?). Ou seja, dão uma ponte direta, enquanto você poderia ir se debatendo pra atravessar o rio sem a ponte (e quase sempre se usam raciocínios semelhantes ao teorema).

Ache um exemplo na sua própria vida matemática.

O pai na pizzaria

Segundo me contaram, durante um jantar, o homem da mesa ao lado dizia aos seus filhos que matemática era fácil. A primeira ideia foi desafia-lo com um problema (que ideais maximais no anel de polinômios em n variáveis podem ser gerado por n elementos), mas não, seria muito cruel e desajeitado com o pai que estava dizendo aos filhos que a matemática não era um monstro, mas sim algo que podia ser estudado, compreendido e aplicado (há gosto pra tudo!).
Foi legal da parte desse pai não tratar o conhecimento como algo de outro mundo, uma atitude que devia ser repetida.

Os prazeres da matemática

Às vezes o que eu gostaria é de uma injeção de matemática. Como pura heroína morfina na veia (não, não uso essas coisas).

Ter vislumbres matemáticos é ótimo. (Houve um pequeno período em que chamei essas coisas de "orgasmos mentais", embora esse nome seja produto de uma mente perversa disposta a impressionar as outras. Assim como outras mentes façam, embora elas passem impunes por si mesmas.) É fantástico, mas demanda trabalho, e ficar focado em alguma coisa, e pensar, pensar, até entender por si mesmo, achar espaço na sua cabeça pra acomodar aquela coisa. Por outro lado, dá um pouco de orgulho saber que conquistar e dominar tal conhecimento (geralmente não são dados, e sim um "programinha" de interpretar ou processar dados) custou um pouco.
Problemas de olimpíada geralmente precisam de um "tcham!" para serem resolvidos e são compensadores.
Teoremas e resultados mais canônicos dão prazer geralmente por confirmar o que parecia ser certo. Alguns são surpreendentes (por exemplo, como ser holomorfa torna uma função rígida, tanto que vale o teorema de Liouville), mas em geral eles são os esperados. O legal no caso é poder provar que aquilo é verdadeiro, que a nossa intuição está certa. Provar com rigor é muito legal mesmo, vocês precisam ver!

de renda

Uma coisa favorável que se pode dizer da carreira acadêmica em matemática é que ninguém a segue por causa de dinheiro. Não é que nem engenharia, medicina, direito, essas profissões que dão dinheiro e respeitabilidade (por causa do dinheiro). Não, matemática é uma coisa que você deve fazer se você gosta e tem alguma habilidade (bem, você pode adquiri-la, ou desistir pelo caminho), e isso é algo que se pode dizer que vem de você, vem do coração, ou ao menos é algo sincero que você faz porque é seu e não porque é uma carreira profissional que vai acrescentar um Dr. ou um Eng. ao seu nome.
Na verdade, pra um estudante como eu, um professor de universidade ganha muito (digamos, uns 5 mil por mês, inicialmente). Mas comparando com outras profissões, você precisa de uns dez anos de estudo para obter um doutorado (e acho que você não fará questão de ser chamado de doutor só por isso) e então poder trabalhar. Não é um grande custo-benefício se você for mesquinho a ponto de considerar o dinheiro como o maior benefício da sua atividade profissional.

Loucura? Que nada!

Muitos graduandos em matemática ou em física gostam de se dizer loucos, ou que no curso só tem louco, ou que seu curso é coisa de louco, ou sei lá o que.
Eu, na minha pessoa, digo: não, isso não é verdade. Vejo somente pessoas normais, com suas vidas progredindo. Tanto que vários professores do Instituto de Matemática da UFRGS são casados com outros (geralmente de outro sexo), e parecem levar uma vida normal. Quer dizer, ninguém é louco assim.
Na verdade, pra mim somos até estáveis demais: geralmente os matemáticos são empregados a universidades, e ficam ali com um emprego durável, sem muitas aventuras. Até há viagens, mas são seguras, programadas e com objetivos (colóquios, congressos...). Loucura? Só em momentos de folga, mas isso é normal. Como plano de vida, matemática ou física não é loucura.