A matemática é universal

Ok, mas o que isso quer dizer? Sugiro duas "interpretações".

A primeira é que pode-se escrever matemática sem suporte de língua nenhuma, só usando símbolos lógicos, números e letras (que poderiam sempre ser substituídas por qualquer outra).

A segunda é a seguinte. Faça uma sentença matemática verdadeira (um teorema) em português. Se você traduzir os termos, um a um, corretamente para o inglês, essa sentença traduzida também é verdadeira. Essa espécie de conjugação da validade da afirmação pelas línguas, ou essa passagem ao quociente, pode ser vista como a universalidade da matemática.

áreas da matemática

Considere o seguinte problema: "Encontrar o número de triângulos (a menos de isometrias) com lados inteiros e perímetro dado."
Você anunciaria que é um problema de geometria? Bem, eu acho que não, porque envolve números inteiros (que não são tão naturais assim em geometria euclidiana, que geralmente lida com a reta ou o círculo unitário) e contagem.
Contagem é típico de combinatória. Números inteiros, teoria dos números. Triângulos, geometria. Então, esse problema é de uma área específica? Devo lembrar que o que caracteriza três números como possíveis lados de um triângulo é a desigualdade triangular, que é puramente "algébrica". As duas provas (ou seja, respostas) que eu conheço são ambas combinatórias (afinal, queremos contar).
Daí, como classificá-lo?
Eu diria que talvez problemas não tenham uma área. Tanto que esse daí pode ser formulado em termos equivalentes, substituindo o conceito 'triângulo' (que supostamente é de geometria) por 'desigualdade triangular' (conceito de espaços métricos, topologia, análise). Muitos outros têm equivalências em áreas que parecem tão distintas. Por exemplo, a conjectura de Riemann (sobre uma função complexa) tem tudo a ver com números primos, e também com a contagem de geodésicas de certo tamanho em variedades compactas.
Além disso, parece que sempre precisamos classificar nosso trabalho. OK, é útil para sabermos as conexões, mas por outro lado, justamente por serem conexões, as áreas não são hierárquicas (a Matemática se mistura bastante, dum jeito muito estranho, confuso e maravilhoso), então não haveria subordinações tão claras.

Eu quero mudar isso, melhorar nossa compreensão e diminuir a hipocrisia (ou a minha alienação, se as pessoas realmente falam a verdade sobre tudo que sabem e entendem).

resultados que são consequências

Você que faz Sudokus tem seu jeito de fazer, e sabe como deduzir o conteúdo de algumas casas. Se você procurar por algumas técnicas, verá que são exatamente o que você fazia, talvez separadas por algum nome.

Ouço muito que para provar certo Resultado tem que usar o teorema Tal ou a técnica Ômega. Muitas vezes, isso é meio que um engano. O Resultado pode ser dito consequência do teorema, ou que é resolvido por uma técnica ou truque, mas na verdade o teorema Tal e a técnica Ômega só encobrem suas primeiras tentativas (pegar o problema a unha, sabe?). Ou seja, dão uma ponte direta, enquanto você poderia ir se debatendo pra atravessar o rio sem a ponte (e quase sempre se usam raciocínios semelhantes ao teorema).

Ache um exemplo na sua própria vida matemática.

O pai na pizzaria

Segundo me contaram, durante um jantar, o homem da mesa ao lado dizia aos seus filhos que matemática era fácil. A primeira ideia foi desafia-lo com um problema (que ideais maximais no anel de polinômios em n variáveis podem ser gerado por n elementos), mas não, seria muito cruel e desajeitado com o pai que estava dizendo aos filhos que a matemática não era um monstro, mas sim algo que podia ser estudado, compreendido e aplicado (há gosto pra tudo!).
Foi legal da parte desse pai não tratar o conhecimento como algo de outro mundo, uma atitude que devia ser repetida.